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微分方程模型#

😊一些latex代码在第一次加载不会解析，按f5刷新后可见

人口模型#

在人口模型中，马尔萨斯模型（Malthusian Model）和Logistic模型是两种常见的人口增长模型，它们具有以下特点：

  1. 马尔萨斯模型：
    马尔萨斯模型是由英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯（Thomas Robert Malthus）提出的，用于描述人口增长的指数爆发趋势。该模型基于以下假设：人口具有指数增长的趋势，而资源的增长速度相对较慢，导致人口与资源之间的不平衡。马尔萨斯模型认为，人口增长受到生育率的正向影响和资源限制的负向影响。当人口超过资源承载能力时，会发生人口崩溃或调整。
  2. Logistic模型：
    Logistic模型是基于马尔萨斯模型的扩展，考虑到资源的有限性和生态系统的稳定性。该模型认为，人口增长不会一直保持指数增长，而是在达到一定阈值后逐渐趋于饱和。Logistic模型引入了饱和增长因素，通常使用S形曲线来描述人口增长的趋势。初始阶段，人口增长较快，但随着人口数量的增加，资源的压力逐渐增大，人口增长率逐渐减缓，最终趋于稳定。

马尔萨斯模型和Logistic模型在人口增长的描述和预测上有所不同。马尔萨斯模型强调指数爆发式的人口增长趋势，着重分析人口和资源之间的关系，警示人口过快增长可能引发的问题。而Logistic模型则更加接近实际情况，考虑了资源的有限性，认为人口增长会受到资源限制的影响，逐渐趋于稳定。Logistic模型更符合实际观测到的人口增长趋势，可以更准确地预测人口的未来发展。

1. Malthus（马尔萨斯人口模型）#

变量表示：

  • (t, P(t))：表示人口的数对，t为时间，P(t) 为 t 时刻的人口数

  • b, p：分别表示出生率、死亡率

    比如说，2002年年初人口总数是 p ，则2002年出生的人数和死亡的人数就分别是 bp 和 dp . 所以，2003年年初的人口总数是

    \(p + bp -dp = (1 + b + d) p = (1 + r)p\)

  • 这里的 r 是自然增长率。该模型是离散的，但是人口数很大，人口变化（人的生死）是在短时间内随时在发生，故可以看成是连续模型。

  • 类似于瞬时速度，t 时刻的人口增长率，为人口平均增长率在所用时间趋于 0 时的极限：

    \(r(t) = lim_{▵t\rightarrow0}\frac{P(t+▵t)-P(t)}{▵t}\)

假设:

  • 人口发展过程比较平稳；
  • 人口数量为时间的连续可微函数；
  • 人口增长率是与时间无关的常数 ;

由前面的分析可得
\(P(t+▵t)-P(t)=rP(t)▵t\)

$P(t+dt)-P(t)=rP(t)dt$         (离散形式)

$\frac{dP(t)}{dt}=rP(t)$    ,  $P(t_0)=P_0$    (连续形式)

进一步得到 Malthus 人口模型

$P(t)=P_0e^{r(t-t_0)}$

MATLAB代码求解#

syms r P(t) t0 P0
eqn=diff(P,t)==r*P;
cond=P(t0)==P0;
PSol(t)=dsolve(eqn, cond);  % 返回符号函数symfun
simplify(PSol(t))

运行结果：
ans=P0*exp(r*(t - t0))

2 . Logistic人口模型#

  1. 阻滞增长模型

    Malthus人口模型假设人口增长率 r 为常数，导致了人口指数增长到无穷，这是不合理的。因为没有考虑到有限的资源对种群的增长会产生遏制作用。

假设

  • 人口增长率是人口数量的递减函数；
  • 确定的环境内的资源供给为常数，且对每个个体的分配是均等的。这表明：当人口规模（密度）增大时，每个人食物的平均分配量必然减少，从而导致人口增长率降低。

  • (对人口增长率做修正）：让它不再是常数 r，而是时间 t 的函数 ，让它通过 t 时刻人口数量来起作用，假设是这样作用：

    \(r(t)=r(P(t))=r(1-\frac{P(t)}{K})\)

这里 K 为新引入的参数，表示地球所能容纳的最大人口数量。

Malthus 时代， P(t) 相对于 K 来说很小，括号项很接近1，所以也就合理了。若取 K=+∞，就退化为 Malthus 人口模型。
    用 N(t) 表示 t 时刻的人口数，类似 Malthus 人口模型，可得到 Logistic 人口模型：

$\frac{dN(t)}{dt}=r(1-\frac{N(t)}{K})$

$N(t_0)=N_0$

仍用分离变量法就能求解：\(N(t)=\frac{k}{1+Ce^{-r(t-t_0)}}\)

其中 C=\(\frac{K-N_0}{N_0}\)

MATLAB代码求解#

syms r K N(t) t0 N0
eqn = diff(N,t) == r * (1 - N/K) * N;
cond = N(t0) == N0;
NSol(t) = dsolve(eqn, cond)  % 返回符号函数symfun
simplify(NSol(t))

运行结果：

Nsol(t) = K/(exp(K*((log(K/N0-1) + r*t0)/K – (r*t)/K)) + 1)
  ans =(K*N0*exp(r*(t – t0)))/(K - N0 + N0*exp(r*(t - t0)))

考察时间 t 趋近于无穷大时的极限，可以发现结果与 Malthus 模型完全不同！

具体做法:

1.先粗略（目测）估计一个$\psi$ ，它是容纳量的界限，拐点处是它的一半，

有了它再对$\frac{N(t)}{\psi}$ 做 Logit 变换。

2) 再用线性回归估计系数 \(\psi_2\),\(\psi_3\)，这样就得到了要估计的3个参数较好的一组初始值。
3) 有了这 3 个参数的较好的初始值，再做原模型的非线性拟合。

3 . Leslie 人口模型#

只对人口总量建模是不够的，特别是需要研究和年龄段有关的问题：老龄化、劳动力人口等。这就需要关注人口的年龄分布（每个年龄段人口的数量），适合的数学模型是基于差分方程理论的Leslie模型。
    Leslie模型，是基于年龄和性别，将人口各年龄段的发展过程建立差分方程组，引入矩阵表示后可变成离散矩阵模型。**Leslie模型构建的基本原理**：首先将人口按性别分组，针对女性人口，选择某初始时期，记分年龄段的女性人口数作为一个列向量；然后通过各年龄段生育率、存活率构建 Leslie 人口矩阵；接着，用Leslie人口矩阵左乘分年龄段的女性人口向量，得到新的列向量即为预测的下一阶段分年龄段的女性人口向量；最后，根据男女性别比例推算出人口总数，根据预测年龄分布可以计算平均年龄、平均寿命、老龄化指数、抚养指数等。

对女性人口按年龄切分，记为按年龄段的女性人口向量：

image-20230729205614140

例如，0~4岁用 \(n_0\)表示，5~9岁用\(n_1\)表示，……，85-89岁用\(n_{s-1}\) 表示，90岁及以上用 \(n_s\)表示，各年龄段女性人口的转移关系如下：

image-20230729205844389

各年龄段女性人口的转移关系图

传染病模型#

这里是对指数传播模型、SI模型、SIS模型和SIR模型的简要介绍及其各自的特点：

  1. 指数传播模型：
    指数传播模型是一种简化的传染病传播模型，假设传染病在人群中以指数增长的方式传播。该模型基于以下假设：每个感染个体在一定时间内以固定的概率将疾病传播给其他人，感染个体不会康复或移除。这种模型适用于早期传染病的快速传播阶段，但不适用于描述疾病的自然消退或人群免疫的情况。
  2. SI模型：
    SI模型是一种基本的传染病传播模型，其中S表示易感者（Susceptible）和I表示感染者（Infected）。该模型假设人群中没有免疫力，感染者不会康复或移除。SI模型适用于描述传染病的初始传播阶段，但不考虑康复或移除的情况。
  3. SIS模型：
    SIS模型是一种常见的传染病传播模型，其中S表示易感者（Susceptible）、I表示感染者（Infected）和R表示康复者（Recovered）。该模型假设感染者可以康复并重新变为易感者，而没有获得持久免疫力。SIS模型适用于描述某些传染病，如感冒或性传播疾病，其中个体可以反复感染。
  4. SIR模型：
    SIR模型是一种常用的传染病传播模型，其中S表示易感者（Susceptible）、I表示感染者（Infected）和R表示康复者（Recovered）。该模型假设感染者经过一定的传染期后可以康复并获得持久免疫力，不再感染该病。SIR模型适用于描述具有持久免疫力的传染病，如麻疹或风疹。
  5. SEIR模型：
    SEIR模型是一种常用的流行病学模型，用于描述传染病在人群中的传播过程。SEIR模型将人群分为四个主要的舱室：易感者（Susceptible）、潜伏者（Exposed）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。

下面是对SEIR模型中每个舱室的含义和转换过程的解释：

  1. 易感者（Susceptible）：这个舱室包括尚未感染病原体的个体，但他们对病原体具有易感性，可以被感染。
  2. 潜伏者（Exposed）：这个舱室包括已经感染病原体但尚未表现出明显症状的个体。潜伏期是指从感染病原体到出现临床症状的时间间隔。在潜伏期内，个体可以传播病原体给其他人，尽管他们自己没有明显的症状。
  3. 感染者（Infectious）：这个舱室包括已经感染病原体且能够传播给其他易感者的个体。感染者通常表现出明显的症状，如发热、咳嗽等。
  4. 康复者（Recovered）：这个舱室包括已经康复并具有免疫力的个体。康复者在经历感染后，可以恢复健康并获得对病原体的免疫力，从而不再易感。

在SEIR模型中，个体之间的转换过程可以用一组微分方程来描述。这些方程考虑了人群中个体之间的接触、感染、潜伏和康复的过程，以及相应的参数，如传染率、潜伏期和康复率等。通过解析这些方程，可以模拟和预测传染病在人群中的传播动态，帮助评估不同防控策略的效果。

SEIR模型是一种相对较复杂的流行病学模型，适用于描述具有潜伏期的传染病，如流感、麻疹等。它提供了更详细的传染病传播过程的描述，有助于理解和预测疫情的发展趋势，并为制定公共卫生干预措施提供科学依据。
这些模型在传染病传播的过程中考虑了不同的因素和假设，可以用于分析传染病的传播动态、预测疫情趋势以及评估不同的防控策略。需要注意的是，这些模型是简化的理论框架，实际应用中可能需要根据具体情况进行适当的调整和扩展。